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Fibonacci ProgreГџion

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Fibonacci number can also be computed by truncation , in terms of the floor function :. Johannes Kepler observed that the ratio of consecutive Fibonacci numbers converges.

For example, the initial values 3 and 2 generate the sequence 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, , , , , The ratio of consecutive terms in this sequence shows the same convergence towards the golden ratio.

The resulting recurrence relationships yield Fibonacci numbers as the linear coefficients:. This equation can be proved by induction on n.

A 2-dimensional system of linear difference equations that describes the Fibonacci sequence is. From this, the n th element in the Fibonacci series may be read off directly as a closed-form expression :.

Equivalently, the same computation may performed by diagonalization of A through use of its eigendecomposition :.

This property can be understood in terms of the continued fraction representation for the golden ratio:. The matrix representation gives the following closed-form expression for the Fibonacci numbers:.

Taking the determinant of both sides of this equation yields Cassini's identity ,. This matches the time for computing the n th Fibonacci number from the closed-form matrix formula, but with fewer redundant steps if one avoids recomputing an already computed Fibonacci number recursion with memoization.

The question may arise whether a positive integer x is a Fibonacci number. This formula must return an integer for all n , so the radical expression must be an integer otherwise the logarithm does not even return a rational number.

Here, the order of the summand matters. One group contains those sums whose first term is 1 and the other those sums whose first term is 2.

It follows that the ordinary generating function of the Fibonacci sequence, i. Numerous other identities can be derived using various methods.

Some of the most noteworthy are: [60]. The last is an identity for doubling n ; other identities of this type are.

These can be found experimentally using lattice reduction , and are useful in setting up the special number field sieve to factorize a Fibonacci number.

More generally, [60]. The generating function of the Fibonacci sequence is the power series. This can be proved by using the Fibonacci recurrence to expand each coefficient in the infinite sum:.

In particular, if k is an integer greater than 1, then this series converges. Infinite sums over reciprocal Fibonacci numbers can sometimes be evaluated in terms of theta functions.

For example, we can write the sum of every odd-indexed reciprocal Fibonacci number as. No closed formula for the reciprocal Fibonacci constant.

The Millin series gives the identity [64]. Every third number of the sequence is even and more generally, every k th number of the sequence is a multiple of F k.

Thus the Fibonacci sequence is an example of a divisibility sequence. In fact, the Fibonacci sequence satisfies the stronger divisibility property [65] [66].

Any three consecutive Fibonacci numbers are pairwise coprime , which means that, for every n ,. These cases can be combined into a single, non- piecewise formula, using the Legendre symbol : [67].

If n is composite and satisfies the formula, then n is a Fibonacci pseudoprime. Here the matrix power A m is calculated using modular exponentiation , which can be adapted to matrices.

A Fibonacci prime is a Fibonacci number that is prime. The first few are:. Fibonacci primes with thousands of digits have been found, but it is not known whether there are infinitely many.

As there are arbitrarily long runs of composite numbers , there are therefore also arbitrarily long runs of composite Fibonacci numbers.

The only nontrivial square Fibonacci number is Bugeaud, M. Mignotte, and S. Siksek proved that 8 and are the only such non-trivial perfect powers.

No Fibonacci number can be a perfect number. Such primes if there are any would be called Wall—Sun—Sun primes. For odd n , all odd prime divisors of F n are congruent to 1 modulo 4, implying that all odd divisors of F n as the products of odd prime divisors are congruent to 1 modulo 4.

Determining a general formula for the Pisano periods is an open problem, which includes as a subproblem a special instance of the problem of finding the multiplicative order of a modular integer or of an element in a finite field.

However, for any particular n , the Pisano period may be found as an instance of cycle detection. Starting with 5, every second Fibonacci number is the length of the hypotenuse of a right triangle with integer sides, or in other words, the largest number in a Pythagorean triple.

The length of the longer leg of this triangle is equal to the sum of the three sides of the preceding triangle in this series of triangles, and the shorter leg is equal to the difference between the preceding bypassed Fibonacci number and the shorter leg of the preceding triangle.

The first triangle in this series has sides of length 5, 4, and 3. This series continues indefinitely.

The triangle sides a , b , c can be calculated directly:. The Fibonacci sequence is one of the simplest and earliest known sequences defined by a recurrence relation , and specifically by a linear difference equation.

All these sequences may be viewed as generalizations of the Fibonacci sequence. In particular, Binet's formula may be generalized to any sequence that is a solution of a homogeneous linear difference equation with constant coefficients.

From Wikipedia, the free encyclopedia. Integer in the infinite Fibonacci sequence. For the chamber ensemble, see Fibonacci Sequence ensemble.

Further information: Patterns in nature. Main article: Golden ratio. Main article: Cassini and Catalan identities.

Main article: Fibonacci prime. Main article: Pisano period. Main article: Generalizations of Fibonacci numbers. Wythoff array Fibonacci retracement.

In this way, for six, [variations] of four [and] of five being mixed, thirteen happens. And like that, variations of two earlier meters being mixed, seven morae [is] twenty-one.

OEIS Foundation. In this way Indian prosodists were led to discover the Fibonacci sequence, as we have observed in Section 1.

Singh Historia Math 12 —44]" p. Historia Mathematica. Academic Press. Northeastern University : Retrieved 4 January The University of Utah.

Retrieved 28 November New York: Sterling. Ron 25 September University of Surrey. Retrieved 27 November American Museum of Natural History.

Archived from the original on 4 May Retrieved 4 February Retrieved Physics of Life Reviews.

Bibcode : PhLRv.. Enumerative Combinatorics I 2nd ed. Cambridge Univ. Analytic Combinatorics. Cambridge University Press.

Williams calls this property "well known". Fibonacci and Lucas perfect powers", Ann. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.

Janitzio This spiral is found in nature! And here is a surprise. In fact, the bigger the pair of Fibonacci Numbers, the closer the approximation.

Let us try a few:. We don't have to start with 2 and 3 , here I randomly chose and 16 and got the sequence , 16, , , , , , , , , , , , , It takes longer to get good values, but it shows that not just the Fibonacci Sequence can do this!

And even more surprising is that we can calculate any Fibonacci Number using the Golden Ratio:. The answer comes out as a whole number , exactly equal to the addition of the previous two terms.

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Written for tradesmen, "Liber Abaci" laid out Hindu-Arabic arithmetic useful for tracking profits, losses, remaining loan balances and so on, Devlin said.

In one place in the book, Leonardo of Pisa introduces the sequence with a problem involving rabbits.

The problem goes as follows: Start with a male and a female rabbit. After a month, they mature and produce a litter with another male and female rabbit.

A month later, those rabbits reproduce and out comes — you guessed it — another male and female, who also can mate after a month.

Ignore the wildly improbable biology here. After a year, how many rabbits would you have? But after a few scant paragraphs on breeding rabbits, Leonardo of Pisa never mentioned the sequence again.

In fact, it was mostly forgotten until the 19th century, when mathematicians worked out more about the sequence's mathematical properties.

But what exactly is the significance of the Fibonacci sequence? Other than being a neat teaching tool, it shows up in a few places in nature.

However, it's not some secret code that governs the architecture of the universe, Devlin said. It's true that the Fibonacci sequence is tightly connected to what's now known as the golden ratio which is not even a true ratio because it's an irrational number.

Simply put, the ratio of the numbers in the sequence, as the sequence goes to infinity , approaches the golden ratio, which is 1.

From there, mathematicians can calculate what's called the golden spiral, or a logarithmic spiral whose growth factor equals the golden ratio.

The golden ratio does seem to capture some types of plant growth, Devlin said. For instance, the spiral arrangement of leaves or petals on some plants follows the golden ratio.

Pinecones exhibit a golden spiral, as do the seeds in a sunflower, according to "Phyllotaxis: A Systemic Study in Plant Morphogenesis" Cambridge University Press, And even more surprising is that we can calculate any Fibonacci Number using the Golden Ratio:.

The answer comes out as a whole number , exactly equal to the addition of the previous two terms.

When I used a calculator on this only entering the Golden Ratio to 6 decimal places I got the answer 8. You can also calculate a Fibonacci Number by multiplying the previous Fibonacci Number by the Golden Ratio and then rounding works for numbers above 1 :.

In a way they all are, except multiple digit numbers 13, 21, etc overlap , like this:. Prove to yourself that each number is found by adding up the two numbers before it!

It can be written like this:. Fibonacci was not the first to know about the sequence, it was known in India hundreds of years before!

That has saved us all a lot of trouble! Thank you Leonardo. Fibonacci Day is November 23rd, as it has the digits "1, 1, 2, 3" which is part of the sequence.

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2 Comments

  1. Gugore Durr

    Ich entschuldige mich, aber meiner Meinung nach irren Sie sich. Es ich kann beweisen. Schreiben Sie mir in PM, wir werden umgehen.

  2. Faushicage Mezticage

    Einem Gott ist es bekannt!

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